Matemática discreta Ejemplos

$3 x - y = 6$ , $5 x + 2 y = 32$

Paso 1

Resuelve $x$ en $3 x - y = 6$ .

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Paso 1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 6 + y$

$5 x + 2 y = 32$

Paso 1.2

Divide cada término en $3 x = 6 + y$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $3 x = 6 + y$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3} + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{6}{3} + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{3} + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

$x = \frac{6}{3} + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

$x = \frac{6}{3} + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Divide $6$ por $3$ .

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$5 x + 2 y = 32$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $2 + \frac{y}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $5 x + 2 y = 32$ por $2 + \frac{y}{3}$ .

$5 (2 + \frac{y}{3}) + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $5 (2 + \frac{y}{3}) + 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \cdot 2 + 5 (\frac{y}{3}) + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 + 5 (\frac{y}{3}) + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.1.3

Combina $5$ y $\frac{y}{3}$ .

$10 + \frac{5 y}{3} + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{5 y}{3} + 2 y = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $2 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$10 + \frac{5 y}{3} + 2 y \cdot \frac{3}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $2 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$10 + \frac{5 y}{3} + \frac{2 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 + \frac{5 y + 2 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{5 y + 2 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $y$ de $5 y + 2 y \cdot 3$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $y$ de $5 y$ .

$10 + \frac{y \cdot 5 + 2 y \cdot 3}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $y$ de $2 y \cdot 3$ .

$10 + \frac{y \cdot 5 + y (2 \cdot 3)}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $y$ de $y \cdot 5 + y (2 \cdot 3)$ .

$10 + \frac{y (5 + 2 \cdot 3)}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{y (5 + 2 \cdot 3)}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$10 + \frac{y (5 + 6)}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Suma $5$ y $6$ .

$10 + \frac{y \cdot 11}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{y \cdot 11}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve $11$ a la izquierda de $y$ .

$10 + \frac{11 y}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{11 y}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{11 y}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{11 y}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$10 + \frac{11 y}{3} = 32$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $10 + \frac{11 y}{3} = 32$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{11 y}{3} = 32 - 10$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.1.2

Resta $10$ de $32$ .

$\frac{11 y}{3} = 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$\frac{11 y}{3} = 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{3}{11}$ .

$\frac{3}{11} \cdot \frac{11 y}{3} = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{3}{11} \cdot \frac{11 y}{3}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{11} \cdot \frac{11 y}{3} = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{11} \cdot (11 y) = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$\frac{1}{11} \cdot (11 y) = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $11$ de $11 y$ .

$\frac{1}{11} \cdot (11 (y)) = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{11} \cdot (11 y) = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = \frac{3}{11} \cdot 22$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $\frac{3}{11} \cdot 22$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común de $11$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Factoriza $11$ de $22$ .

$y = \frac{3}{11} \cdot (11 (2))$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3}{11} \cdot (11 \cdot 2)$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$y = 3 \cdot 2$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = 3 \cdot 2$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = 6$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = 6$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = 6$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = 6$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

$y = 6$

$x = 2 + \frac{y}{3}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $6$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 2 + \frac{y}{3}$ por $6$ .

$x = 2 + \frac{6}{3}$

$y = 6$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $2 + \frac{6}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1

Divide $6$ por $3$ .

$x = 2 + 2$

$y = 6$

Paso 4.2.1.2

Suma $2$ y $2$ .

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

$x = 4$

$y = 6$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, 6)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(4, 6)$

Forma de la ecuación:

$x = 4, y = 6$

Paso 7